<t->
          Tudo  Matemtica
          8 ano
          Ensino Fundamental

          Luiz Roberto Dante

          Impresso Braille em
          9 partes, na diagramao de
          28 linhas por 34 caracteres,
          da 3 edio, 1 impresso,
          So Paulo, 2011, 
          Editora tica

          Segunda Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
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          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~, 
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<p>
          Gerente Editorial
          Mrcia Takeuchi

          Editora 
          Crmen Slvia Rela 
          Matricardi

          Editoras de Texto 
          Ldia La Mark
          Snia Scoss Nicolai
 
          Assessoria Didtica
          Clodoaldo Pereira Leite
          
          ISBN 978-85-08-12485-5

          2011
          Todos os direitos reservados 
          pela Editora tica S.A.
          Av. Otaviano Alves de Lima, 
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          ~,www.atica.com.br~,
          ~,editora@atica.com.br~,
<P>           
                                I
Sumrio

Segunda Parte

Captulo 3

Expresses algbricas :::::: 117
 
1. Mquinas programadas 
  para gerar operaes :::::: 121 

2. Expresses algbricas e 
  varivel :::::::::::::::::: 126 
Situaes representadas por 
  expresses algbricas ::::: 130  
Expresses algbricas 
  equivalentes :::::::::::::: 133 
Revendo a ideia de permetro 
  de um polgono :::::::::::: 137 
Restries para o 
  denominador ::::::::::::::: 142
Valor numrico de uma 
  expresso algbrica ::::::: 145 
<p>
3. Expresses algbricas e 
  equaes :::::::::::::::::: 151 
Expresses algbricas e 
  truques numricos ::::::::: 155  
Frmulas ::::::::::::::::::: 161
Nmero de diagonais de um 
  polgono convexo :::::::::: 171 
Generalizaes ::::::::::::: 173  
Resoluo de problemas com 
  expresses algbricas ::::: 175  

Reviso cumulativa ::::::::: 184  
Para ler, pensar e 
  divertir-se ::::::::::::::: 194

Captulo 4

Representao de slidos 
  geomtricos no plano :::::: 198 

1. Planificao de slidos 
  geomtricos ::::::::::::::: 200  

2. Poliedros regulares :::: 202 
Poliedros regulares e suas 
  planificaes ::::::::::::: 204 
A relao de Euler nos 
  poliedros regulares ::::::: 208  
<P>           
                            III
3. Algumas representaes 
  de slidos geomtricos no 
  plano ::::::::::::::::::::: 211 
Malha pontilhada ::::::::::: 212 
Malha quadriculada ::::::::: 214 
Malha triangular ::::::::::: 216 
Vistas de um slido 
  geomtrico :::::::::::::::: 217 

4. Perspectiva: outra 
  representao de figuras 
  tridimensionais no 
  plano ::::::::::::::::::::: 219
Desenho em perspectiva ::::: 223 
Perspectiva a partir de 
  faces frontais :::::::::::: 226 
Representao em perspectiva 
  na linha do horizonte ::::: 228 
Perspectiva com dois pontos 
  de fuga ::::::::::::::::::: 229  

Reviso cumulativa ::::::::: 231  
Para ler, pensar e 
  divertir-se ::::::::::::::: 235 

<44>
<p>
<Ttudo  mat. 8 ano>
<t+117>
Captulo 3 

<R+>
Expresses algbricas 

Voc j sabe que letras podem ser utilizadas para representar nmeros. Mas nem sempre foi assim. Vamos conhecer um pouco dessa histria? 
<R->

  Na Antiguidade, os clculos eram muito demorados e complicados. Como no existiam smbolos para indicar nmeros desconhecidos, usavam-se palavras e desenhos. 
  Veja um exemplo tirado de um importante documento sobre a matemtica dos egpcios: 

<R+>
<F->
_`[{trecho do papiro de Rhind_`]
"A quantidade, a sua metade e a sua quarta parte adicionadas do dez. Qual  a quantidade?"
Legenda: Traduo do problema 34 do Papiro de Rhind.
<F+>
<R->
<p>
  Somente a partir do sculo XVI os smbolos e as letras para representar nmeros passaram a ser usados de forma sistemtica. 

<R+>
<F->
_`[{equao adaptada_`]
"{i{q{c-15{q{q+85{c-225{q+
  +274{n aequatur 120"
Legenda: Forma adotada pelo francs Franois Vite (1540-1603), um dos responsveis pelo desenvolvimento da linguagem algbrica. 
<F+>
<R->

  Foi um longo caminho at o clculo literal (clculo com letras) assumir a forma que tem hoje. Veja como podem ser representadas as duas situaes anteriores: 

<R+>
<F->
Papiro de Rhind 
x+x~2+x~4=10 

Vite 
x5-15x4+85x3-225x2+
  +274x=120 
<F+>
<R->
<p>
  Veja a seguir uma situao em que  usado esse tipo de clculo. 
<45> 
  Observe o desenho de uma sala retangular de comprimento x e largura y, ambos com a mesma unidade de medida de comprimento (metro, por exemplo), com x>y. 

<F->     
pcccccccccccccc
l              _
l              _ y
l              _  
l              _
v--------------#
      x
<F+>

  Quando queremos representar seu permetro, usamos uma expresso literal ou algbrica: 

x+x+y+y ou 2x+2y 
<p>
<R+>
<F->
 Se a medida do comprimento  de 7 m x=7 e a medida da largura  de 4 m y=4, o valor numrico da expresso algbrica 2x+2y nos d o permetro desse retngulo em metros. 

2x+2y=2.7+2.4=14+8=22 

 Se conhecemos a medida do comprimento 15 m e o permetro 44 m, podemos descobrir a medida da largura por meio de uma equao. 

2.15+2y=44 
30+2y=44 
2y=44-30 
2y=14 
y=#,b=7 
<F+>
<R->

<R+>
Neste captulo voc vai determinar o valor numrico de expresses algbricas, usar frmulas, bem como desvendar truques numricos por meio de expresses al-
<p>
  gbricas, sempre resolvendo muitos problemas. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<46> 
<R+>
1. Mquinas programadas para 
  gerar operaes 
<R->

  Felcio amanheceu com jeito de cientista e est muito ansioso para mostrar aos colegas a sua inveno: uma mquina programada para dobrar nmeros! 
  Veja o desenho esquemtico da mquina de Felcio: 

<R+>
<F->
_`[{figura no adaptada_`]

Entra o 1, sai o 2 2.1. 
Entra o 2, sai o 4 2.2. 
Entra o 3, sai o 6 2.3. 
Entra o 3,5, sai o 7 2.3,5. 
Entra um nmero x qualquer, sai o 2x (dobro de x).
<F+>
<R->
<p>
_`[{o menino diz_`]
  "Escrever 2.x ou 2x  a mesma coisa."
 
  Emlio gostou da ideia de Felcio e resolveu aperfeioar a mquina. Agora ela est programada para triplicar o nmero que entra e adicionar 5 ao resultado. 
<R+>
<F->
Entra o 0, sai o 5 3.0+5=5. 
Entra o 1, sai o 8 3.1+5=8. 
Entra o 2, sai o 11 3.2+5=11. 
Entra o 4, sai o 17 3.4+5=17. 
Entra o 4,5, sai o 18,5 3.4,5+5=18,5. 
Entra um nmero n qualquer, sai o 3n+5 (triplo de n, mais 5). 

Atividades  

1. Participe da brincadeira de Felcio e responda usando a mquina inventada por ele: 
<p>
a) E se entrasse o nmero 50, que nmero sairia?  
b) E se entrasse o nmero -10, que nmero sairia?  
c) Que nmero deve entrar para sair o 52? 

2. Agora responda usando a mquina de Emlio: 
a) Se entrasse o nmero 20, que nmero sairia?  
b) Se entrasse o nmero -5, que nmero sairia? 
c) Se entrasse um nmero y qualquer, que nmero sairia?  
d) Que nmero deve entrar para sair o 32?  
<F+>
<R->

<47> 
<R+>
<F->
3. Observe as mquinas programadas. Copie e complete as tabelas com os nmeros que faltam. No item c escreva tambm a mensagem. 
<p>
_`[{figuras adaptadas_`]

a) E subtrai 1 da metade S

!::::::::::
l E  _ S  _
r:::::w:::::w
l 2  _ ''' _
l 10 _ ''' _
l 0  _ ''' _
l -4 _ ''' _
l 1  _ ''' _
l y   _ ''' _
h:::::j:::::j

b) E adicionar 5 no dobro S

!::::::::::
l E  _ S  _
r:::::w:::::w
l 0  _ ''' _
l 5  _ ''' _
l ''' _ 19 _
l -2 _ ''' _
l ''' _ 7  _
l r   _ ''' _
h:::::j:::::j
<p>
c) E ''' S

!::::::::::::::::
l E   _ S       _
r::::::w::::::::::w
l 5   _ '''      _
l 2   _ '''      _
l -1  _ '''      _
l 0   _ '''      _
l 10  _ '''      _
l m    _ 2m+1 _
h::::::j::::::::::j

4. Atividade em dupla 
<F+>
<R->
  Invente uma mquina programada, d alguns valores para a entrada e pea a seu colega que escreva os nmeros da sada. Escreva os da mquina que seu colega inventou. 

               ::::::::::::::::::::::::
<p>
<R+>
2. Expresses algbricas e 
  varivel 
<R->

  Veja alguns exemplos de expresses em que aparecem nmeros e letras: 

<R+>
2x; y~2-1; 3n+5; x~y; 2n+3; 2m+1; 3x2 

As expresses que indicam operaes matemticas e contm letras e nmeros so chamadas expresses algbricas ou expresses literais. 
<R->

  J aprendemos que algbrica vem de lgebra. 
  E lgebra  a parte da Matemtica em que representamos os nmeros por letras e fazemos clculos com elas. 
  Observe nas tabelas da atividade 3 que em cada item as letras assumem valores variados. Por isso, elas recebem o nome de varivel da expresso algbrica. Por 
<p>
 exemplo, na expresso 2r+5, dizemos que a letra r  a varivel. 

Atividades 

<R+>
<F->
5. Escreva estas expresses literais em seu caderno e em cada uma delas identifique a varivel: 
a) 3x2 
b) y~2-1 
c) 2n+1  
d) 2m+1m

6. Escreva uma expresso algbrica com uma s varivel (a) e outra com duas variveis (a e b). 
<F+>
<R->

<48>
Desafio

  Em dupla, copiem e completem estas tabelas em seus cadernos. Examinem atentamente cada uma. Vocs conseguem descobrir a regularidade delas? 
<p>
  Escrevam tambm a varivel e a expresso algbrica correspondente. 

<R+>
<F->
_`[{tabelas adaptadas_`]

a) !::::::::::::
    l 20  _ 11  _
    l 10  _ 6   _
    l 18  _ 10  _
    l 13  _ 7,5 _
    l 40  _ 21  _
    l 36  _ 19  _
    l 30  _ '''  _
    l 4,8 _ '''  _
    l 70  _ '''  _
    l 6,4 _ '''  _
    l n    _ '''  _
    h::::::j::::::j

Varivel: '''
Expresso algbrica: '''
<p>
b) !::::::::::::
    l 2   _ -6  _
    l -5  _ 15  _
    l 10  _ -30 _
    l 6   _ -18 _
    l #,b  _ -#:b _
    l -#;c _ 2   _
    l 8   _ '''  _
    l 20  _ '''  _
    l -1  _ '''  _
    l -#?f _ '''  _
    l t    _ '''  _
    h::::::j::::::j

Varivel: '''
Expresso algbrica: '''
<p>
c) !::::::::::::::::::
    l 1; 2     _ 6   _
    l 4; 5     _ 18  _
    l 10; 20   _ 60  _
    l 6; 8     _ 28  _
    l 1,5; 2,5 _ '''  _
    l 7; 9     _ '''  _
    l 3; 7     _ '''  _
    l a; b       _ '''  _
    h::::::::::::j::::::j

Varivel: ''' e '''
Expresso algbrica: '''
<F+>
<R->

<R+>
Situaes representadas por expresses algbricas 
<R->

  A Loja do Fregus resolveu fazer a promoo a seguir na venda de geladeiras, foges, televisores e vdeos.

<R+>
<F->
_`[{figura adaptada_`]
Em qualquer mercadoria:
Entrada de R$100,00
Restante em 5 prestaes iguais
<F+>
<R->
<p>
  Nessa situao, o preo a pagar por qualquer produto pode ser representado por uma expresso algbrica: 100+5p, na qual a varivel p indica o valor de cada prestao. 

Atividades 

<R+>
7. Observe a figura plana a seguir, cujas dimenses so dadas em centmetros. 
<R->

Legenda:
  az -- azul
  am -- amarelo

<F->
        2
   pccccccccccl
   l          l     x
   l          pcccccccccc
3 l    az    l          _
   l          l          _
   l          l    am    _ x 
   l          l          _
   l          l          _
   v----------v----------#     
<F+>
<p>
  Escreva a expresso algbrica que representa, em centmetros quadrados: 
<R+>
<F->
a) a rea da regio quadrada amarela; 
b) a rea da regio retangular azul;  
c) a rea de toda a figura.  

8. Mnica e seu pai esto brincando de perguntas e respostas. As regras so as seguintes: quem acertar ganha 10 pontos e quem errar perde 3 pontos. 
<F+>
<R->
  Se Mnica tiver x acertos e y erros, qual  a expresso que indica os pontos obtidos por ela no total?  
<49> 
<R+>
<F->
9. Qual  a expresso algbrica que indica o nmero de dias em um perodo formado por x semanas completas e mais 3 dias?  

10. Considere que n representa um nmero natural. Indique por meio de expresses algbricas: 
<p>
a) a soma do triplo desse nmero com 7. 
b) 40% desse nmero. 
c) o sucessor desse nmero. 
d) o dobro da diferena entre esse nmero e 9. 
e) a metade desse nmero diminuda de 11. 
f) a soma de 8 com os #;c desse nmero. 
g) os #;c da soma desse nmero com 4. 
h) o quociente do quadrado desse nmero pelo sucessor dele. 

Expresses algbricas 
  equivalentes 
<F+>
<R->

  E l estava Felcio de novo estudando para a prova de Matemtica. 
  Como ele tinha muitas dvidas, foi pedir ajuda ao irmo. Juntos trocaram ideias sobre expresses algbricas. 
  Acompanhe:
<p>
_`[{felcio diz_`]
  "Qual  a outra maneira de dizer $"3 vezes o 5 mais 4 vezes o 5$", sem dar o resultado?"
 
_`[{o irmo responde_`]
  "Fcil!  s fazer 7 vezes o 5!" e pensa: "... que d 35."

  Genericamente, podemos dizer que 3 vezes um nmero mais 4 vezes esse nmero 3x+4x  o mesmo que 7 vezes o nmero 7x, pois usando a propriedade distributiva temos 3x+4x=3+4x=7x. 
  Dizemos que as expresses algbricas 3x+4x e 7x so equivalentes e podemos, sempre que quisermos, substituir uma delas pela outra. 
  Veja como podemos usar a propriedade distributiva para encontrar expresses algbricas equivalentes. 
<p>
<R+>
<F->
2x+6x=2+6.x=8.x=8x
3y+5y+y=3+5+1.y=9.y=9y

3.x+4=3.x+3.4=3x+12

   !::::::::::::::
3 l 3x _  12    _
   h:::::j:::::::::j
      x      4
<F+>
<R->

<50> 
  Continue acompanhando o estudo de Felcio e seu irmo. 
  -- Compare agora o que podemos fazer com uma expresso numrica e com uma expresso algbrica -- disse o irmo de Felcio. 
 
<R+>
<F->
?50+15*~5=#?}e+#,?e=10+3=13 
?4x+12*~2=4x~2+#,;b=2x+6
2x+6 -- expresso algbrica mais simples 
<F+>
<R->

_`[{felcio diz_`]
  "J sei! A expresso algbrica 2x+6  equivalente a ?4x+12*~2 e mais simples!"
<p>
_`[{o irmo diz_`]
  "Muito bem!  isso mesmo!"
 
  Outros exemplos: 
<R+>
<F->
 x+5+3x-1 -- x+3x+5-1 -- 4x+4 (mais simples) 
 ?3a+7a-5*~5 -- ?10a-5*~5 -- 10a~5-#?e :o 2a-1 (mais simples)

Atividades 

11. Use a propriedade distributiva e escreva expresses algbricas equivalentes a: 
a) 8a+7a 
b) 5x+x+9x 
c) 7y-2y 
d) 5.y-1 

12. A expresso 3a~10-a~5+5a~6 corresponde a 14a~15, 5a~3 ou 11a~30?
 
13. Escreva expresses algbricas mais simples e equivalentes s expresses a seguir. 
<p>
a) ?3y+9*~3  
b) ?4a+8*~2+3 
c) ?5x+6x+22*~11-5 
d) ?6x+2-12~3

14. Identifique e registre no caderno os cinco pares de expresses equivalentes entre as relacionadas a seguir. 

x+4; x+5; x+5+x-5; ?4x+16*~4; 2x; x+x3; 2x~3; 25x-3; 10x-6; 2+4x-3x+3.
<F+>
<R->

<51>
<R+>
Revendo a ideia de permetro de um polgono 
<R->

  Maurcio e Bia esto recordando a matria de Matemtica juntos. Veja como eles representaram o permetro do tringulo desenhado a seguir.
<p>
<F->
       e
         e
           e
  x          e x+1
               e
                 e
 -----------------u    
         2x
<F+>

_`[{maurcio diz_`]
  "Como o permetro de um polgono  a soma das medidas de seus lados, eu vou represent-lo assim: x+x+1+2x."

_`[{bia diz_`]
  "Eu calculei mentalmente e vou escrever de uma forma equivalente e mais simples: 4x+1."
 
Atividades 

<R+>
15. Escreva de duas maneiras diferentes a expresso que representa o permetro de cada um dos retngulos. 
<R->
<p>
<F->
a)   x
    pccc
    l   _
    l   _
3x l   _ 3x
    l   _
    l   _
    l   _
    v---#
      x

b)      x+3
  pcccccccccccccccc
  l                _
  l                _
x l                _ x
  l                _
  l                _
  v----------------#
         x+3

c)     x
  pccccccccccc
  l           _
y l           _
  l           _
  v-----------#
<F+>
<p>
<R+>
16. Escreva as expresses que indicam as reas das regies determinadas pelos retngulos da atividade 15. 

17. Para cada uma das regies planas I, II e III a seguir, associe em seu caderno uma expresso literal entre aquelas dadas a seguir.
<R->
 
<F->
I.
pcccccccccccccccc
l                _
l                _ 3 cm
l                _  
l                _
l                _
v----------------#
        x
<p>
II.
        
         
          
           
            
             
              
               
----------=-----u
     x      3 cm

III.
pcccccccccccccc
l              _
l              _
l              _
l              _
l              _
l              _
l              _ 
v--------------#
        x

A: 4x; B: 3x+9; C: 2x+3

Como voc as associou? Explique?
<F+>
<p>
<R+>
<F->
18. Considere que a unidade de medida  sempre a mesma. Copie e complete as sentenas. 
a) Se cada lado de um quadrado mede 3x+2, seu permetro  ... 
b) Um tringulo com lados medindo x, 2x e x+5 tem permetro de ...  
c) Se o permetro de um retngulo  de 4x+6 e o comprimento mede x+3, a largura mede ... 

<52>
Restries para o denominador 
<F+>
<R->

  Algumas expresses algbricas no representam um nmero real para alguns valores atribudos s letras. Por exemplo, 1~x no representa um nmero real quando x=0, pois no existe a diviso por zero. Por isso, se precisarmos escrever a expresso 1~x, devemos escrever ao lado dela a restrio x=0, assim: 

1~x, x=0
<p>
  Veja outros exemplos: 
<R+>
<F->
 ?x-1*~?x+1*, x=-1, pois a expresso algbrica ?x-
  -1*~?x+1* no representa um nmero real quando x+1=0, ou seja, quando x=-1. 
 ?a+b*~?a-b*, a=b, pois a expresso algbrica ?a+b*~?a-b* no representa um nmero real quando a-b=0, ou seja, quando a=b. 

Assim, para representar um nmero real, o denominador em uma expresso algbrica necessariamente tem que ser diferente de zero. 
<F+>
<R->

  Por exemplo, para que valor real de x a expresso algbrica x~?3x-2* representa um nmero real? 
  Procuramos inicialmente o valor de x que anula o denominador: 

3x-2=0 :> 3x=2 :> x=#;c
<p>
  Assim, x~?3x-2* representa um nmero real se x=#;c, pois, quando x for diferente de #;c, o denominador 3x-2 ser diferente de zero. 

Atividades 

<R+>
<F->
19. Faa as restries ao denominador de cada expresso algbrica para que ela represente um nmero real: 
a) a~?a-b* 
b) ?x+y*~?x+2y* 
c) x~?2x-5* 
d) 2x~?1+3x*

20. Para que valor de x a expresso ?x+1*~?2x2-50* no representa um nmero real?
21. Descubra qual das restries deve ser feita para que a expresso a seguir represente um nmero real.  

5~?x3+x2+x-14*
 
x=1; x=2; x=0
<F+>
<R->
<53>
<p>
<R+>
Valor numrico de uma expresso algbrica 
<R->

  Quando em uma expresso algbrica substitumos as variveis por nmeros e efetuamos as operaes indicadas, obtemos o valor numrico dessa expresso. 

<R+>
<F->
O permetro da regio pentagonal regular, cujo lado mede x,  representado pela expresso algbrica 5x. 
Para x=3 cm :> P=5.3=15 cm 
Para x=3, a expresso algbrica 5x tem valor numrico 15. 

Atividades

22. Faa o que se pede: 
a) Escreva uma expresso algbrica que represente a rea de uma regio quadrada de lado l. 
<p>
b) Para l=5 cm, qual  a rea dessa regio quadrada?  
<F+>
<R->

<F->
pccccccccccc
l           _
l           _
l           _ l
l           _
l           _
l           _
v-----------#
      l
<F+>

<R+>
<F->
23. Determine o valor numrico de cada uma destas expresses algbricas para x=2: 
a) ?3x+1*~7 
b) x2+3x+2 
c) x2-5x+6  
d) x3+2x2+x~2+1 
 
24. Calcule o valor numrico da expresso E=2x2-0,5x+3 para: 
a) x=3 
b) x=0,5  
c) x=-1  
d) x=10  
<p> 
25. a) Escreva de duas maneiras diferentes a expresso algbrica que representa a rea total da figura a seguir.  
  
  pcccccccccccccccccccc
  l      _              _
a l      _              _
  l      _              _ 
  v------#--------------#
     a           b

b) Qual  o valor numrico dessa expresso para a=3 cm e b=6 cm? 

26. Calcule o valor numrico das seguintes expresses algbricas: 
a) a2-b2 para a=-1 e b=2
b) ?x+y*~?x-y* para x=8 e y=5
c) ?1-a2*~?a-1* para a=-2
d) ?m-n*~m para m=9 e n=1
e) ?x-1~x*~x para x=3
f) x2-2xy+y2 para x=-1 e y=-2
<F+>
<R->

<54>
<p>
<R+>
<F->
27. Das expresses a seguir, copie no caderno apenas as que representam nmeros reais para x=-3. Em cada uma delas calcule o valor numrico para esse nmero real. 
a) ?x-3*~?x+3* 
b) ?x+3*~?x-3*
c) ?x+7*~?x2+9*
d) x~?x2-9*
e) 8x~?6-2x*
f) 1~?5x+15*

28. Examine a figura a seguir e responda: 

         A
         e
        l  e
        l    e
        l      e
        lh       e
        l          e
        r::        e
        l_-_          e
 -------v--#-----------u    
B   b          20 cm   C
<p>
a) O que representa cada uma das expresses b+20 e ?b+20.h*~2? 
b) Determine o valor da expresso ?b+20.h*~2 para h=10 cm e b=8 cm.

29. A rea de uma regio em forma de trapzio  dada pela metade do produto da medida da altura pela soma das medidas das bases maior e menor. 

           b
     cccccccccccc      aa
                        _
                        _ h    
                        _
                        _
----------------------u .#.
           B          

a) Escreva a expresso algbrica que representa essa rea. 
b) Calcule o valor numrico dela quando h=3 cm; B=8 cm e b=5 cm.
<p>
30. A rea de uma superfcie cujo contorno  uma elipse  dada pela expresso ^pab, sendo 2a e 2b os comprimentos de seus eixos. 

pcccccccccccccccccccc
l                    _
l                    _
l                    _ y
l                    _
l                    _
l                    _
v--------------------#
          x
<F+>
<R->

  O marceneiro Jos colocou um espelho elptico em uma regio retangular de madeira na qual x=60 cm e y=0,36 m. Responda (use ^p=3,14):
<R+>
<F->
a) Qual  a rea do espelho?  
b) Qual  a rea da parte visvel da madeira? 
<p>
31. Um reservatrio j est com 200 L de gua. Se for aberta uma torneira que despeja 25 L de gua por minuto, responda: 
a) Qual  a expresso algbrica que representa o nmero de litros de gua no reservatrio aps x minutos com a torneira aberta? 
b) Qual  o valor numrico dessa expresso para x=12?  
c) No item b, o que representam a igualdade x=12 e o valor numrico obtido? 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<55> 
<R+>
3. Expresses algbricas e 
  equaes 
<R->
 
  Aps Maurcio e seus colegas resolverem a atividade 31, o professor perguntou: 
  Depois de quantos minutos com a torneira aberta o reservatrio ficar com 950 L de gua? 
<p> 
_`[{maurcio diz_`]
  "Essa pergunta pode ser feita de outra maneira: Qual deve ser o valor de x para que a expresso 200+25x tenha valor numrico 950?"

_`[{o professor diz_`]
  "Isso mesmo. E esse valor pode ser encontrado resolvendo a equao: 200+25x=950."

<R+>
<F->
Resoluo: 
200+25x=950 
25x=950-200 
25x=750
x=#=?}be
x=30 (raiz da equao)

Verificao: 
200+25x 
200+25.30 
200+750 
950 
<F+>
<R->

  Ento, o reservatrio ficar com 950 L depois de 30 minutos com a torneira aberta. 
<p>
Atividades 

<R+>
<F->
32. Na loja de Sarita o plano de venda de eletrodomsticos  dado pela expresso R$100,00+5p, em que p representa o valor da prestao. Qual  o valor de cada prestao na venda de um televisor cujo preo  de R$450,00?  
33. Camila resolveu 20 testes. Para cada acerto, ela ganhou 5 pontos e para cada erro perdeu 2 pontos. Quantos acertos e quantos erros Camila teve, se no total ela ganhou 72 pontos? 
<F+>
<R->

_`[{o professor diz_`]
  "Uma dica: representando por x o nmero de acertos, o nmero de erros ser 20-x." 

<R+>
<F->
34. Qual  o valor da incgnita x nestas equaes? 
a) 3x-2=22 
b) 2x+x~3=14
c) 3.x-3+x=2x+11 
<p>
35. Qual deve ser o valor de y para que as expresses algbricas 3y-5 e 2y+7 apresentem o mesmo valor numrico? Faa a verificao. 

Desafio
<F+>
<R->

  Observe as medidas (em graus) dos ngulos representadas no tringulo a seguir. 
  
<F->
              ie
             i  e
           i     e
         i  x-30 e
       i           e
     i              e
   i x-15         x e
 --------------------u
<F+>

  Quais so os valores em graus dos trs ngulos do tringulo? 
 
<56> 
<R+>
<F->
36. Considere uma praa retangular cujo permetro  de 184 m e o comprimento mede o triplo da 
<p>
  largura. Descubra as duas dimenses (comprimento e largura) dessa praa. 
37. Resolva as equaes determinando o nmero correspondente  letra. 

A~7=7; C-9=10; L-23=10; M+45=100; 2I=12; T2,7=10; U+32=20; 3+E=12.   
<F+>
<R->
 
  Agora substitua cada nmero pela letra correspondente e descubra a mensagem:

<R+>
55; 49; 27; 9; 55; 49; 27; 6; 13; 49; 9; 11; 27; 6; 18.

Expresses algbricas e truques numricos 
<R->

  Cntia gosta de provocar os colegas. Veja o desafio que ela lanou. 
<p>
_`[{cntia diz_`]
  "Pensei em nmero de trs algarismos distintos. Inverti a ordem desses algarismos (de trs para frente) e obtive um novo nmero. Somei esses dois nmeros, dividi a soma por 4 e obtive 111 e resto zero. Em que nmero pensei?"

  Vamos ajudar os amigos da Cntia a apresentar uma resoluo. 
  Indiquemos por x y z o nmero em que Cntia pensou, com trs algarismos distintos. Invertendo-se os algarismos, obtemos o nmero z y x. 
  Depois de somar esses nmeros xyz+zyx, ela dividiu a soma obtida por 4, obtendo 111 como quociente exato. Ento, essa soma deve ser 444 (1114). 
  Para visualizar melhor, montamos o algoritmo da adio efetuada: 

<R+>
<F->
xyz+zyx=444 
<p> 
Assim, conclumos que: 
z+x=4 ou x+z=4 e 
y+y=4, ou seja, y=2
<F+>
<R->

_`[{o professor diz_`]
  "Por que z+x no pode ser 14? Pense nisso."

  Vamos montar um quadro com as possibilidades de soma 4 para z e x: 

  z+x=4 
<R+>
<F->
z=0 e x=4 
z=4 e x=0 
z=1 e x=3 
z=3 e x=1 
z=2 e x=2 
<F+>
<R->

<57> 
  Como os algarismos so distintos e y=2, nem x nem z podem ser 2. Tambm nenhum deles pode ser zero, pois os nmeros formados tm trs algarismos. Ento, das possibilidades do quadro, apenas z=1 e x=3 ou z=3 e x=1 servem. 
<p>
  Dessa forma, ou temos x=3, y=2 e z=1 ou temos x=1, y=2 e z=3. Portanto, Cntia pensou no nmero 321 ou no nmero 123. 
  Muitos truques numricos como esse so solucionados com o uso de expresses algbricas. 

Atividades 

<R+>
<F->
38. Copie a tabela em seu caderno e complete-a. Depois, responda s questes formuladas. 

_`[{tabela adaptada em trs 
  colunas_`]
1 coluna: Instrues
2 coluna: Exemplos
3 coluna: Expresso algbrica

Pense em um nmero. -- 5; 8; 10; -- x
Some 2 a esse nmero. -- 7; ...; ...; -- x+2
Dobre o resultado -- ...; 20; ...; -- 2x+2 ou 2x+4
Subtraia 4. -- 10; ...; ...; -- 2x
<p>
Que resultado final voc encontrou? -- 10; 16; 20; -- 2x
Dividindo esse resultado por 2, voc chega ao nmero pensado. -- 5; ...; ...; -- x

a) Que nmero se obtm na penltima linha?  
b) Compare o nmero da primeira linha da tabela com o da ltima. Como eles so? 
c) Use esse truque com um colega. Ele diz o resultado final a que chegou, voc divide-o por 2 e descobre o nmero em que ele pensou. 

39. Agora, as expresses algbricas so dadas. Copie a tabela em seu caderno e complete-a com as instrues e com os exemplos. Depois responda s questes. 
<p>
_`[{tabela adaptada em trs 
  colunas_`]
1 coluna: Expresso algbrica
2 coluna: Instrues
3 coluna: Exemplos

n -- ... -- 4; 20; 12; 100
n+5 -- ... -- 9; ...; ...; 105
3n+15 -- ... -- ...; 75; ...; 315
3n -- ... -- ...; ...; 36; ...
3n -- A que resultado final voc chegou? -- ...; 60; ...; ...
n -- ... -- 4; ...; ...; 100

a) A qual nmero sempre se chega?  
b) Faa esse truque com um colega. Voc pergunta a que nmero final ele chegou, divide esse resultado por 3 e descobre o nmero em que ele pensou. 

40. Invente um truque matemtico semelhante aos anteriores. Depois de test-lo, faa-o com um colega. 
<F+>
<R->

<58>
<p> 
Frmulas 

  Usando expresses algbricas, podemos representar, por meio de frmulas, propriedades e regularidades dos nmeros, das formas geomtricas, das grandezas e medidas, da estatstica e das cincias em geral. 
  Acompanhe as situaes para ver como fazemos isso. 

Densidade de um corpo 

  Quando colocamos leo em uma vasilha com gua, ele flutua; mas, quando colocamos chumbo em uma vasilha com gua, ele afunda. Voc sabe por que isso acontece? Voc j deve ter visto esse assunto nas aulas de Cincias. 
  Isso ocorre devido a uma srie de fatores, entre os quais est a densidade dos corpos. 
  A densidade de um corpo  indicada por um nmero obtido pela frmula: 
<p>
d=m~v
  m -- massa (em g)
  v -- volume (em cm3)

  Dessa forma, a densidade (d)  dada em g/cm3 (grama por centmetro cbico). 
<R+>
<F->
Observaes: 
1) A densidade da gua  1 g/cm3. 
2) Os corpos que afundam na gua so os de densidade maior do que 1 g/cm3. 
3) Os corpos que flutuam na gua so os de densidade menor do que 1 g/cm3. 

Atividades 

41. Use a frmula, calcule a densidade e comprove as observaes anteriores: 
a) Densidade da gua, sabendo que 200 cm3 de gua pesam 200 g.  
b) Densidade do leo, sabendo que 200 cm3 de leo pesam 184 g. 
<p>
c) Densidade do chumbo, sabendo que 200 cm3 de chumbo pesam 2,24 kg. 

42. Usando uma balana e uma vasilha graduada, Maurcio verificou que 60 g de lcool ocuparam um volume de 75 cm3. Qual  a densidade do lcool?  

43. Responda em seu caderno s seguintes questes. 
a) Qual  a densidade da gua do mar (gua salgada) sabendo que um volume de 1.000 cm3 tem massa de 1.030 g? 
b) Sabendo que a densidade do ouro  de 19,3 g/cm3, qual  a massa de uma pea de ouro macio que ocupa 125 cm3?  
c) Sabendo que a densidade da platina  de 21,4 g/cm3, qual  o volume de uma placa de platina cuja massa  de 2.675 g? 
<p>
d) Qual  a densidade do ar sabendo que um volume de 1.000 cm3 de ar tem massa de 1,3 g? 
<F+>
<R->

<59>  
Energia eltrica 

  A conta que sua famlia recebe da companhia de distribuio de energia eltrica  calculada com base no nmero de quilowatt-hora (kWh) de eletricidade que sua famlia consome durante 1 ms. 
 
_`[{o professor diz_`]
  " sempre bom economizar energia. No deixe as lmpadas acesas desnecessariamente."
 
  Um quilowatt  igual a 1.000 watts. Um watt  a unidade usual de energia eltrica. Um quilowatt-hora (kWh)  a quantidade de eletricidade consumida em 1 hora por um aparelho de 1.000 watts. A frmula para determinar 
 o nmero de quilowatt-hora  
 dada a seguir. 

<R+>
<F->
k=?t.W*~1.000 ou k=t.W
  1.000
  k -- nmero de quilowatt-hora
  t -- nmero de horas
  w -- nmero de watts
<F+>
<R->

  Ao alugar um veculo, geralmente h duas partes a pagar: uma depende do nmero de dias (d) que voc aluga o carro e outra, do nmero de quilmetros (q) que voc roda com ele. 
  A locadora Aluga Fcil oferece as condies de aluguel a seguir. 

<R+>
<F->
_`[{figura adaptada_`]
Locao de veculos 

!:::::::::::::::::::::::::::::::
l  Aluga Fcil                _
l  R$30,00 por dia            _
l    (includo seguro)        _
l  Mais R$0,45 por km        _
l    rodado                     _
l  Para qualquer modelo 1.000 _
h:::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>
<R->
<p>
  Nesse caso, a frmula que fornece o custo total (C)  dada por: 

<R+>
<F->
C=30 d+0,45 q 

Atividades 

44. Use a frmula que fornece o nmero de quilowatt-hora e responda: 
a) Quantos quilowatts-hora so gastos por uma lmpada de 100 watts que fica ligada 8 horas por dia durante 30 dias?  
b) Se cada quilowatt-hora custa R$0,31, qual  a despesa que se ter com a lmpada do item a? 

45. Utilize a frmula C=30 d+0,45 q para resolver estas questes sobre aluguel de um carro: 
a) Roberto alugou um veculo por 3 dias, rodando 500 km. Quanto ele pagou de aluguel?  
<p>
b) Camila alugou por 10 dias, rodando 1.000 km. Quanto ela pagou de aluguel? 
c) Jaime pagou R$390,00 e rodou 600 km. Quantos dias ele usou o carro? 
d) Hlen alugou por 8 dias e pagou R$645,00. Quantos quilmetros ela rodou? 
 
46. Tomando decises 
<F+>
<R->
  Uma locadora de veculos concorrente da Aluga Fcil oferece outras condies de aluguel. Veja a seguir. 

<R+>
<F->
_`[{figura adaptada_`]

!:::::::::::::::::::::::::
l  Aluga Rpido         _
l  R$35,00 por dia      _
l    (includo seguro)  _
l  Mais R$0,20 por km  _
l    rodado               _
h:::::::::::::::::::::::::j
<p>
a) Qual  a frmula que fornece o custo (C) do aluguel, neste caso?  
b) Se Roberto alugasse o carro desta companhia, ele teria vantagem ou desvantagem econmica?  
c) E Camila, quanto gastaria a mais ou a menos nesta companhia? 
d) Giovanna pagou R$110,00 e viajou 200 km. Quantos dias ela viajou por esta companhia?  
<F+>
<R->

<60>
Leitura 

Frmulas para o nosso corpo 

  Existem frmulas que permitem controlar o nosso peso tomando como referncia a nossa altura. 
  Vejamos duas delas. 
<R+>
<F->
1) IMC  a sigla para ndice de massa corporal. Para calcular o IMC de uma pessoa a partir dos 19 anos, usamos a frmula a seguir, e o controle  feito de acordo com a tabela a seguir.
<p>
IMC=?massa*~?altura.altura*
  (massa em kg e altura em m)

_`[{tabela adaptada_`]
IMC
  Baixo -- at 18,5
  Normal -- de 18,6 a 24,9
  Pr-obeso -- de 25 a 29,9
  Obeso -- mais de 30
<F+>
<R->

  Tomemos como exemplo uma pessoa com 70 kg e 1,64 m e calculemos seu IMC: 

<R+>
IMC=70~?1,64.1,64*=
  =70~2,6896=26,03 (aproximadamente)
<R->

  Consultando a tabela, podemos deduzir que essa pessoa est pr-obesa. 
<p>
<R+>
<F->
2) Outra frmula, chamada frmula de Lorentz, permite calcular o peso ideal (P) de uma pessoa, em quilogramas, em fun-
  o de sua altura (h), expressa em centmetros. Ela  dada por: 

P=h-100-?h-150*~k, sendo K=4 para homem e K=2 para mulher. 

Agora  com voc! 
1. Use a frmula do IMC, calcule e responda: Em que faixa da tabela est uma pessoa com 1,70 m de altura e 70 kg? 
2. Use a frmula de Lorentz e calcule o peso ideal de Valdemar, que mede 1,70 m de altura, e de Vilma, que mede 
  1,60 m. 
<F+>
<R->

<61>
<p>
<R+>
Nmero de diagonais de um 
  polgono convexo 
<R->
 
  Voc j estudou no ano anterior a frmula que fornece o nmero de diagonais (d) em um polgono convexo de n lados: d=?nn-3*~2. 
<R+>
<F->
 Se o polgono tem n lados, ele tem n vrtices. 
 De cada vrtice partem n-3 diagonais. 
 n.n-3 nos d o dobro do nmero de diagonais. 
 ?n.n-3~2 nos d o nmero de diagonais.
<F+>
<R->
 
_`[{o professor diz_`]
  "Lembre-se: a diagonal ^c?{a{b*  a mesma que a diagonal ^c?{b{a*. No as contamos duas vezes. Por isso dividimos n.n-3 por 2."
<p>
Atividades  

<R+>
<F->
47. Copie e complete a tabela a seguir e confirme a validade da frmula anterior. 

_`[{tabela adaptada_`]
Polgono convexo
Coluna 1: Nmero de lados ou de vrtices
Coluna 2: Nmero de diagonais que partem de cada vrtice
Coluna 3: Produto dos nmeros das colunas 1 e 2
Coluna 4: Nmero total de diagonais (d) (sem repeti-las)

Quadriltero: 4 -- 1 -- 4 -- 2.
Pentgono: 5 -- 2 -- 10 -- 5.
Hexgono: ''' -- ''' -- 18 -- '''
Heptgono: ''' -- ''' -- 28 -- 14.
Octgno: ''' -- ''' -- 40 -- '''
Polgono de n lados: ''' -- ''' -- ''' -- '''
<p>
48. Determine o nmero de diagonais do decgono convexo e do icosgono convexo. 
<F+>
<R->

<62>
Generalizaes 

   possvel fazer algumas generalizaes em Matemtica usando frmulas que contm expresses algbricas. Por exemplo, se n indica um nmero natural qualquer: 
<R+>
<F->
 P=2n indica que P  nmero par; 
 I=2n+1 indica que I  nmero mpar; 
 q=n2 indica que q  quadrado perfeito; 
 C=n3 indica que C  cubo perfeito. 
<F+>
<R->
  Por exemplo, utilizando a frmula P=2n, podemos afirmar que 60  par, pois pode ser escrito na forma 2.30. 
<p>
Atividades  

<R+>
<F->
49. Use as generalizaes dadas e identifique em cada item os nmeros como quadrado perfeito (q) ou cubo perfeito (C). 
a) 784  
b) 32.768  
c) 9.801  
d) 3.375  

50. Continue usando as generalizaes para responder a estas questes:  
a) O dobro de um nmero par  par ou mpar? 
b) O dobro de um nmero mpar  par ou mpar?  
c) O sucessor de um nmero par  par ou mpar?  
d) A metade de um nmero par  sempre par? 

51. Use expresso algbrica para representar:  
<p>
a) o dobro do nmero x mais a metade dele;  
b) mudando a ordem dos fatores o produto no se altera;  
c) a diferena entre o triplo do quadrado do nmero y e o dobro do seu cubo;  
d) o quociente do dobro do cubo do nmero inteiro a a=-1 pelo sucessor de a;  
e) a soma do inverso do nmero positivo m com a raiz quadrada desse nmero; 
f) o quadrado da diferena dos nmeros x e y.  

Resoluo de problemas com expresses algbricas 
<F+>
<R->

  Agora voc vai aplicar o que aprendeu em outras situaes. 
<p>
Atividades  

<R+>
<F->
52. Em uma indstria, o custo operacional de uma mercadoria  composto de um custo fixo de R$300,00 mais um custo varivel de R$0,50 por unidade fabricada. Sabendo que C representa o custo operacional e x representa o nmero de unidades fabricadas, escreva uma frmula relacionando-os.  
<63> 
53. Diogo tinha em sua conta bancria um saldo positivo de R$530,00. Aps um saque em um caixa eletrnico que fornece apenas notas de R$50,00, o novo saldo  dado em funo do nmero y de notas retiradas. Escreva a frmula que representa o novo saldo S. 
54. Em certa cidade, um motorista de txi cobra R$4,50 de bandeirada mais R$0,90 por quilmetro rodado. Escreva a frmula que indica a quantia a pagar (Q) se o nmero de quilmetros rodados for n.
<p>
55. Uma firma que conserta vazamentos em torneiras cobra uma taxa fixa de R$20,00 pela visita mais R$30,00 por hora de mo de obra. Escreva uma frmula que indique a quantia a pagar (Q) se o nmero de horas de mo de obra for h. 
 
56. As frmulas C=#?iF-32 e F=#*eC+32 so usadas para transformar graus Fahrenheit em graus Celsius, e vice-versa. Resolva os problemas utilizando calculadora. 
a) Transforme 170F em graus Celsius.  
b) Qual temperatura  mais baixa: 0C ou 10F?  
c) Em determinada cidade, no dia 1 a temperatura mdia foi 45F. No dia 2 a temperatura mdia foi 43F. No dia 3 a temperatura mdia foi 41F. Se esse padro continuar, qual ser a temperatura mdia em graus Celsius no dia 4? 
<p>
57. Cientistas que estudam temperaturas j encontraram um limite inferior de temperatura, chamado zero absoluto, que tem o valor de -459,67F. Mas ainda no encontraram um limite superior para temperatura. Eles estimam que o centro do Sol tem uma temperatura de 27.000.000F. Faa arredondamentos e determine essas temperaturas em graus Celsius. 
58. A frmula d=4,9t2 fornece a distncia aproximada d, em metros, que um corpo percorre em t segundos quando deixado no ar em queda livre. Quanto tempo um objeto levou para cair 122,5 m de onde foi solto?  

59. Na engenharia pesquisa-se quanto uma mola se alonga em funo da massa de um corpo preso a ela. Examine os valores da tabela e o grfico a seguir obtidos em um experimento com determinada mola. 
<p>
 Alongamento (a)
9_--------=
8_        l 
7_        l  
6_-----=  l 
5_     l  l  
4_     l  l 
3_--=  l  l 
2_  l  l  l 
1_  l  l  l 
  w::g::g::g::g::g::g:::::o 
    1 2 3 4 5 6 Massa (p)
        
!:::::::::::::::::::::::
l Massa  _ Alongamento _
l em kg _ em cm      _
r:::::::::w::::::::::::::w
l 0      _ 0           _
l 1      _ 3           _
l 2      _ 6           _
l 3      _ 9           _
l 4      _ 12          _
h:::::::::j::::::::::::::j

a) Escreva uma frmula que relacione o alongamento (a) com a massa (p).  
<p>
b) Quantos centmetros essa mola alongaria se fosse colocado nela um corpo de 2,5 kg? E um corpo de 5 kg?  
c) Qual deve ser a medida da massa de um corpo para que ele alongue a mola em 8,7 cm? 
<F+>
<R->

<64> 
60. Atividade em dupla 
  Descubram se  ou no possvel ligar os pontos do grfico da atividade 59 com uma semirreta de origem no ponto 0,#j. 

<R+>
61. Frmulas obtidas a partir de grficos 
<R->
  Em geral, ao fazerem experimentos, os cientistas elaboram um grfico com os dados obtidos e depois procuram descobrir uma frmula que corresponda a esse grfico. Faa o mesmo: para cada grfico a seguir, escreva uma frmula correspondente, dando o valor de y em funo de x. 
<p>
<F->
a)
 y l             i
   l           i 
5 p         i       
4 p       i          
3 p     i              
2 p   i                
1 pi                   
   g::g::g::g::g::g::g::g::g::o
     1 2 3 4 5 6 7 8  x

b)
 y l               i
   l              i 
5 p             i       
4 p            i          
3 p           i              
2 p          i                
1 p         i                   
   g::g::g::g::g::g::g::g::g::o
     1 2 3 4 5 6 7 8  x
<F+>
<p>
<R+>
62. D uma de cientista: invente um grfico e troque-o com um colega para ele descobrir a frmula correspondente. Depois, juntos, vocs conferem a sua e a dele. 

63. Projeto em equipe: 
  descobrindo frmulas 
<R->
  Pesquisem, descubram frmulas e criem situaes-problema com elas para os colegas resolverem. 
<R+>
64. O que voc achou mais difcil neste captulo? E mais fcil? Responda em seu caderno. 

Raciocnio lgico
<R->

  Corre o ano de 1932. Um rapaz diz a seu av: Vov, os dois ltimos algarismos do ano em que nasci formam justamente a minha idade atual. Coincidncia, respondeu-lhe o av: Comigo acontece o mesmo. Em que ano nasceram? 
  (Uma dica: O ano em que uma pessoa nasce mais a idade dela 
<p>
 sempre d o ano em que ela 
 est vivendo.) 

<R+>
Curiosidade matemtica 

Adivinhe o nmero em que seu 
  colega est pensando! 
<R->
 
  Pea a seu colega que pense em um nmero. 
  Depois, que some a esse nmero seus quatro nmeros consecutivos.
  Pea a ele que d a soma obtida.
  Divida mentalmente a soma por 5 e subtraia 2.
  Pronto! O resultado  o nmero em que ele pensou.
  Experimente!
  Junto com o seu colega procurem justificar esse truque. Vocs podem usar uma expresso numrica para isso.

               ::::::::::::::::::::::::

<65>
<p>
<R+>
<F->
Reviso cumulativa 

1. Use uma expresso algbrica para indicar o nmero de anos de cada item. 
a) x dcadas mais 5 anos  
b) x sculos  
c) y dcadas menos 3 anos 
d) z milnios mais s dcadas  

2. Escreva as expresses algbricas: 
a) A soma do cubo do nmero x com o quadrado do nmero y.  
b) O dobro do nmero m aumentado do cubo do nmero n.  
c) A tera parte de um nmero a menos o triplo de um nmero b.  
d) A raiz quadrada de um nmero positivo x mais o quadrado do inverso de x. 

3. Joaquim repartiu R$65,00 entre seus trs filhos, de modo que Paulo ficou com a metade da quantia de Joo, e Lauro ficou com #;c da quantia de Joo. Quanto recebeu cada um? 
<p>
4. Vamos descobrir a regularidade de uma sequncia, escrever mais dois termos dela e indic-la de uma maneira geral usando a letra x, que representa um nmero natural qualquer. 
 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ...
Representao: 6x, para x=0, x=1, etc.
 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ...
Representao: 2x+1, para x=0, x=1 etc. 
Use o mesmo procedimento em cada uma destas sequncias:
a) 0, 5, 10, 15, 20, 25, ..., ..., ...  
b) 1, 6, 11, 16, 21, 26, ..., ..., ... 
c) 2, 7, 12, 17, 22, 27, ..., ..., ...  
d) 1, 5, 9, 13, 17, 21, ..., ..., ... 
<p>
5. Descubra a regularidade ou padro na tabela.

_`[{tabela adaptada_`]
1 coluna: S
2 coluna: I

!::::::::::
l S  _ I  _
r:::::w:::::w
l 1  _ 4  _
r:::::w:::::w
l 2  _ 7  _
r:::::w:::::w
l 3  _ 10 _
r:::::w:::::w
l 4  _ 13 _
r:::::w:::::w
l 5  _ 16 _
r:::::w:::::w
l 11 _ ... _
r:::::w:::::w
l 28 _ ... _
h:::::j:::::j
<F+>
<R->

  Encontre, nos quadrinhos a seguir, a expresso algbrica que relaciona os nmeros da linha da 
<p>
 esquerda (S) com os nmeros da linha a direita (I): 

2n+1; 3n+1; 3n-2
 
  Em seguida, use a expresso encontrada para determinar os nmeros desconhecidos. 
 
<R+>
6. Considere que y representa a idade de Andr (em anos). 
<R->
  Com base nas informaes a seguir, represente as demais idades usando a letra y. 
<R+>
<F->
a) Lcia  3 anos mais nova do que Andr.  
b) Fausto tem o dobro da idade de Lcia. 
c) Raquel  1 ano mais velha do que Andr. 
d) Nlton tem 2 anos a mais do que Fausto. 
e) Ana Maria tem #;c da idade de Andr. 
<p>
7. O dimetro do Sol  de, aproximadamente, 1.390.000 km. 
<F+>
<R->
  Observe como podemos escrever o nmero 1.390.000 na notao cientfica: 
 
1.390.000=1,39.106 

<R+>
<F->
Escreva os nmeros que aparecem nas informaes a seguir usando a notao cientfica. 
a) A velocidade da luz  de, aproximadamente, 300.000.000 m/s.  
b) H vrus cuja espessura  de, aproximadamente, 0,0006 mm.  
c) O raio de um tomo  de, aproximadamente, 0,00000000005 mm.  
d) O dimetro mdio aproximado da Terra  de 12.800 km.  
<F+>
<R->

<66> 
<R+>
<F->
8. Observe os exemplos de trs nmeros inteiros consecutivos: 
 -4, -3 e -2  
 +3, +4 e +5 
<p>
 -1, 0 e +1
 16, 17 e 18
Podemos represent-los genericamente assim: n-1, n e n+1. 
Por exemplo: 
 para n=5, temos: 4, 5 e 6; 
 para n=-3, temos: -4, -3 e -2. 
Agora, responda em seu caderno: 
a) Para n=27, quais so os trs nmeros inteiros consecutivos?  
b) Qual deve ser o valor de n para que os nmeros inteiros consecutivos sejam 98, 99 e 100?  
c) Quais so os trs nmeros inteiros consecutivos cuja soma  igual a 93?  

9. Com base nas informaes das figuras, calcule o permetro dos seguintes contornos (use ^p=3,14):
<p>
_`[{quatro figuras adaptadas_`]
Figura 1: circunferncia de raio 1,5 cm.
Figura 2: circunferncia de dimetro ^c?{a{b* de 2,8 m.
Figura 3: dois lados perpendiculares de 3 cm e um arco.
Figura 4: dois raios de 4 m e ngulo central de 72.
 
10. Voc j viu que 2  um nmero irracional. Assim, ele tem uma representao decimal infinita e no peridica. Mas, quando voc usa na calculadora 2y; y, aparece no visor 1,4142135, que  um decimal finito. Dizemos que essa  uma aproximao racional do nmero irracional 2. 
<F+>
<R->
  Use a calculadora e determine a aproximao racional, com sete casas aps a vrgula, dos nmeros irracionais: 
<R+>
<F->
a) 3 
b) 5 
c) 7 
d) 10 
<p>
11. Se V  o nmero de vrtices, A  o nmero de arestas e F  o nmero de faces de uma pirmide de base octogonal, qual  o valor da expresso 2V-A+3F? 
12. A gua contida no aqurio da foto corresponde a que porcentagem de sua capacidade?  
 
_`[{figura adaptada_`]
Aqurio dividido em cinco partes iguais, contendo gua at a quarta parte.

13. Considerando as coordenadas dos pontos A1,#c, B-2,#b, C-2,-#c e D0,-#b, vrtices do quadriltero {a{b{c{d, qual  o menor lado desse quadriltero?  
<p> 
14. Copie as trs afirmaes que so verdadeiras. 
a) Todo nmero natural  inteiro. 
b) Todo nmero inteiro  racional. 
c) Existe nmero racional que no  real. 
d) Nenhum nmero inteiro  irracional. 

15. Se n representa um nmero inteiro, a expresso n2+1 indica qual dos itens a seguir?  
a) o dobro do sucessor de n; 
b) o sucessor do dobro de n; 
c) o quadrado do sucessor de n; 
d) o sucessor do quadrado de n. 

16. Com base no grfico a seguir, descubra qual foi a mdia diria de faltas nessa semana.
<p>
_`[{grfico adaptado_`]

   _ Faltas
   _ 
3 _:==::::::::==
   _                
2 _::::==:::::::::::==
   _               
1 _::::::::::==   
   _             
   w:gg:::gg:::gg:::gg:::gg:o 
     2  3  4  5  6  
            Dias da semana

17. O preo de trs cadernos e duas canetas  R$19,00. Dois cadernos e trs canetas custam R$16,00. Qual dos itens indica o preo de um caderno e uma caneta?  
a) R$6,00  
b) R$7,00  
c) R$8,00
d) R$9,00
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<67> 
<p>
<R+>
Para ler, pensar e divertir-se 

Ler 

Que nmero voc cala? 
<R->

  Os calados surgiram como proteo para os ps e foram sofrendo mudanas de acordo com a necessidade de quem os calava. 
  A numerao de calados foi criada em 1324, na Inglaterra, no reinado de Eduardo II, tendo como unidade de medida um gro de cevada, que correspondia a #,c de polegada.
  Hoje, os mtodos ou sistemas de numerao de calados baseiam-se em outras unidades de medida, mas no h uma uniformidade de padres em termos internacionais. 

<R+>
<F->
_`[{trs fotos seguidas por suas legendas_`]
Legenda 1: Sapato do sculo XXI.
<p>
Legenda 2: Sapato do sculo XX.
Legenda 3: Sapato do sculo XIX.
<F+>
<R->

  No Brasil, o nmero de calados est relacionado com o tamanho do p, em centmetros, pela frmula matemtica: 

<R+>
S=?5p+28*~4, sendo S o nmero do calado e p o comprimento do p em centmetros. 
<R->

  Por exemplo, se seu p medir 24 cm, o nmero de seu calado ser 37, pois: 

S=?5.24+28*~4=#,"d=37
 
  Comprove a frmula anterior, substituindo nela o valor do tamanho de seu p. 
<p>
Pensar 

  Considere x um nmero real qualquer, diferente de zero. 
  A expresso x+x-x+x vale sempre zero. 
  Use quatro vezes o nmero x e as operaes conhecidas e escreva trs expresses algbricas: uma de valor 1, outra de valor 2 e outra de valor 3.  

Divertir-se 

  Os nomes dos nmeros 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 50 e 100 esto escritos em ingls e dispostos na horizontal, na vertical e na diagonal do diagrama a seguir. 
<p>
<F->
!::::::::::::::::::::::::
l f _ t _ w _ e _ l _ v _ e _ n _
r:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w
l i _ h _ h _ t _ s _ n _ p _ e _
r:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w
l f _ o _ u _ r _ e _ i _ z _ i _
r:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w
l t _ r _ s _ n _ e _ n _ x _ g _
r:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w
l y _ z _ e _ f _ d _ e _ p _ h _
r:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w
l t _ e _ v _ o _ i _ r _ l _ t _
r:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w
l w _ r _ e _ l _ e _ v _ e _ n _
r:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w
l o _ o _ n _ e _ s _ r _ e _ d _
h:::j:::j:::j:::j:::j:::j:::j:::j
<F+>

  Uma letra pode ter sido usada mais de uma vez. 
  Encontre essas palavras e registre-as no caderno. 

               oooooooooooo
<p>
Captulo 4 

<R+>
_`[{o contedo deste captulo, bem como as atividades propostas so predominantemente visuais. Para melhor aproveitamento, pea orientao ao professor_`]

Representao de slidos 
  geomtricos no plano 

A forma de muitos objetos d a ideia de slidos geomtricos. Que formas podemos observar se planificarmos esses slidos? Como podemos representar slidos geomtricos no plano? 
<R->

  Acompanhe os exemplos a seguir. 
<R+>
1) O dado  um objeto que d a ideia de um slido geomtrico conhecido pelo nome de cubo. 
<R->
  Imagine agora uma embalagem cuja forma lembre a de um cubo. Va-
 mos desmontar essa caixa e observar o que acontece.

_`[{figuras no adaptadas_`]
<p>
  Observou bem como ficou a caixa desmontada? Foi feita a sua planificao. 
<69> 
<R+>
2) Veja agora a figura a seguir. Ela representa a superfcie de um cubo planificado. 
<R->

Uma das planificaes do cubo

<F->
          $::::
          _    _    
          _    _
!::::!::::w::::w::::     
l    l    _    _    _   
l    l    _    _    _   
h::::h::::w::::w::::j 
          _    _
          _    _
          ::::j
<F+>

  Partindo dessa planificao, podemos montar um objeto com a forma de cubo, fazendo dobraduras e colagens. 
  Acompanhe a sequncia _`[no adaptada_`]:
<p>
<R+>
3) Como fazemos para representar um cubo no plano de uma folha de papel, por exemplo? Veja alguns desenhos _`[no adaptados_`]. 

Neste captulo vamos estudar a planificao de slidos geomtricos e aprender algumas 
  maneiras de representar essas figuras tridimensionais no 
  plano. Teremos, tambm, o 
  primeiro contato com desenhos 
  em perspectiva. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<70> 
<R+>
1. Planificao de slidos 
  geomtricos 
<R->

  Observe a planificao de trs slidos geomtricos: 

_`[{o professor diz_`]
  "No se esquea! Quando dizemos planificao de um slido geomtrico, estamos nos referindo  sua superfcie, sua $"casca$"." 
<p>
<R+>
<F->
Slidos geomtricos: prisma de base pentagonal, cilindro e pirmide de base quadrada.

_`[{planificaes no adaptadas_`]
<F+>
<R->

  Para montar um slido geomtrico com cartolina ou com papel-carto, podemos primeiramente representar sua superfcie desmontada no plano, ou seja, fazer a planificao do slido. 

<71> 
Atividades  

<R+>
_`[{para as atividades de 1 a 3, pea orientao ao professor_`]
<R->

<R+>
<F->
1. Usando o procedimento visto, faa o desenho da planificao de um bloco retangular com dimenses de 4 cm, 3 cm e 1 cm. 
2. Faa o desenho da planificao de uma pirmide de base quadrada como a da figura _`[no adaptada_`], considerando as seguintes dimenses:  
<p>
 cada lado da base: 3 cm; 
 cada face lateral: regio triangular issceles com 2,5 cm de altura. 

3. Observe a planificao de um slido geomtrico no desenho 
  _`[no adaptado_`]. Registre o nome que pode ser dado a esse slido geomtrico. 
a) Cubo.  
b) Cilindro.  
c) Prisma de base pentagonal.   
d) Pirmide de base hexagonal.
e) Bloco retangular.
f) Prisma de base hexagonal.
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

2. Poliedros regulares 
 
  Voc se lembra do que  um poliedro?  um slido geomtrico que tem todas as faces planas. 
<p>
<R+>
<F->
_`[{figuras adaptadas_`]
Poliedros: pirmide de base triangular, prisma de base triangular e um bloco com uma base retangular e outra base quadrada.
No so poliedros (tm partes arredondadas): cilindro e esfera.
<F+>
<R->

  Dos poliedros identificados anteriormente, os dois primeiros so convexos (aqueles que no tm reentrncias), e o terceiro  no convexo (tem reentrncia). 
  Entre os poliedros convexos, temos os poliedros regulares. 

_`[{o professor diz_`]
  "Poliedros regulares so aqueles cujas faces so regies poligonais regulares iguais e nos quais, para todo vrtice, converge o mesmo nmero de arestas. Regio poligonal regular  aquela que tem 
<p>
 como contorno um polgono regular, ou seja, um polgono com lados de mesma medida e ngulos internos de mesma medida."

<72>
<R+>
Poliedros regulares e suas 
  planificaes 
<R->

  Existem somente cinco tipos de poliedros regulares. Observe seus desenhos e suas planificaes 
 _`[figuras no adaptadas_`].

<R+>
<F->
Cubo ou hexaedro regular (6 faces); Octaedro regular (8 faces); Tetraedro regular (4 faces); Dodecaedro regular
  (12 faces); Icosaedro regular (20 faces). 
  
Atividades  

_`[{para as atividades de 4 a 9, pea orientao ao professor_`]

4. Analise os trs poliedros a seguir e verifique se cada um  ou no um poliedro regular. 
<p>
_`[{figuras no adaptadas, seguidas por suas legendas_`]
Legenda 1: Cubo -- Todas as faces so regies quadradas, e para cada vrtice convergem 3 arestas.
Legenda 2: Pirmide de base quadrada -- H 4 faces triangulares equilteras e uma face quadrada.
Legenda 3: Hexaedro -- Todas as faces so triangulares equilteras. Para o vrtice A convergem 3 arestas, e para o B convergem 4 arestas. 
<F+>
<R->

<73> 
<R+>
<F->
5. Examine, na pgina 204, o cubo e sua planificao e responda: 
a) Quantas faces tem o cubo? Quantos vrtices? E quantas arestas? 
b) Por que o cubo tambm  chamado de hexaedro regular? 
c) O cubo  um caso particular de bloco retangular? Explique. 
<p>
Voc sabia? 
<F+>
<R->

  So 11 as possveis planificaes do cubo. Veja quais so:

_`[{figuras no adaptadas_`]

<R+>
<F->
6. Responda s questes considerando o tetraedro regular e sua planificao: 
a) O tetraedro regular  uma pirmide especial? Explique. 
b) Qual  o significado do prefixo tetra? 
c) Quantas faces tem o tetraedro regular? Quantos vrtices? E quantas arestas? 
d) O que ocorre com o nmero de faces e de vrtices de um tetraedro regular? Isso acontece em qualquer pirmide? 
e) Quantas arestas convergem para cada vrtice no tetraedro regular?  
<p>
7. Examine o octaedro regular e sua planificao e responda: 
a) O que significa a expresso octaedro regular?  
b) Qual  a forma das faces do octaedro regular?  
c) Quantos vrtices, quantas arestas e quantas faces tem o octaedro regular? 
d) Quantas arestas convergem para cada vrtice no octaedro regular? 

8. Responda s questes observando o dodecaedro regular e sua planificao: 
a) O que significa dodecaedro regular? 
b) Qual  a forma das faces do dodecaedro regular?  
c) Quantos vrtices tem o dodecaedro regular? Quantas arestas? E quantas faces? 
d) Quantas arestas convergem para cada vrtice no dodecaedro regular?  
<p>
9. Analise o icosaedro regular e sua planificao e responda: 
a) O que significa icosaedro regular?  
b) Qual  a forma das faces do icosaedro regular?  
c) Quantos vrtices tem o icosaedro regular? Quantas arestas? E quantas faces? 
d) Quantas arestas convergem para cada vrtice no icosaedro regular?  
<F+>
<R->

<74>
<R+>
A relao de Euler nos poliedros regulares 
<R->

  Voc se lembra da relao de Euler que vimos no 7 ano? Ela 
 se verifica em todos os poliedros convexos, entre os quais esto os poliedros regulares. 

<R+>
<F->
V+F=A+2
  V: Nmero de vrtices
  F: nmero de faces
  A: nmeros de arestas
<p>
_`[{figura adaptada_`]
Pirmide de base triangular:
  V=4
  F=4
  A=6
  4+4=6+2

Atividades

10. Verifique a relao de 
  Euler no poliedro convexo desenhado a seguir.

_`[{figura adaptada_`] 
Tronco de pirmide de base quadrada.

11. Copie esta tabela em seu caderno e complete-a, verificando a relao de Euler em cada um dos poliedros regulares. A primeira linha j est preenchida. 
<p>
_`[{tabela adaptada em seis 
  colunas_`]
1 coluna: Poliedros regulares
2 coluna: Nmero de vrtices (V)
3 coluna: Nmero de faces (F)
4 coluna: Nmero de arestas (A)
5 coluna: Formas das faces
6 coluna: Relao de Euler

Tetraedro; 4; 4; 6; triangular; 4+4=6+2
'''; '''; '''; '''; '''; '''
'''; '''; '''; '''; '''; '''
'''; '''; '''; '''; '''; '''
'''; '''; '''; '''; '''; '''

12. Considere os cinco poliedros regulares, observe a tabela da atividade anterior e responda em seu caderno: 
a) Em quais deles temos V=#:d de F? 
b) Em quais deles temos F=#;c de A? 
<p>
c) Em quais deles temos V+F-A=2? 
d) Em quais deles temos F=A?  
e) Em quais deles temos ?2V+F+3A*~2A+7=2? 
f) Em quais deles temos A=2V? 
 
13. Em um poliedro regular o nmero de vrtices  a metade do nmero de arestas, e o nmero de faces  #;c do nmero de arestas. Descubra quantos vrtices, quantas faces e quantas arestas tem esse poliedro e qual  seu nome. 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<75>
<R+>
3. Algumas representaes de 
  slidos geomtricos no plano 
<R->

  Para facilitar a representao de figuras tridimensionais no plano, como  o caso dos slidos geomtricos, podemos utilizar vrios 
<p>
 tipos de malha (ou rede), como a pontilhada, a quadriculada e a triangular. Vamos estudar cada uma delas. 

Malha pontilhada 

  Observe a sequncia de procedimentos e a representao final destes slidos: 

<R+>
<F->
_`[{figuras no adaptadas, seguidas por suas legendas_`]
Legenda 1: Cubo; 
Legenda 2: Bloco retangular; 
Legenda 3: Dois cubos justapostos; 
Legenda 4: Letra L _`[no sistema comum de escrita_`] construda com 6 cubos. 

Atividades

_`[{para as atividades 14 e 15, pea orientao ao professor_`]

14. Represente em uma malha pontilhada, em qualquer posio:  
<p>
a) trs cubos justapostos; 
b) dois blocos retangulares justapostos; 
c) uma pilha de cubos formada com seis cubos; 
d) uma pilha de cubos construda com quantos cubos voc quiser. 

15. Desenhe em uma rede pontilhada:  
a) a letra U _`[no sistema comum de escrita_`] formada por 7 cubos;  
b) a letra E _`[no sistema comum de escrita_`] formada por 10 cubos; 
c) a letra H _`[no sistema comum de escrita_`] formada por 12 cubos;
d) uma letra a escolher formada por cubos.
Compare seus desenhos com os de seus colegas. 
<F+>
<R->

<76>
<p>
Malha quadriculada 

  Examine estes exemplos: 

<R+>
<F->
_`[{figuras no adaptadas, seguidas por suas legendas_`]
Legenda 1: Um ou mais cubos; 
Legenda 2: Bloco retangular ou paraleleppedo; 
Legenda 3: Letra C _`[no sistema comum de escrita_`] construda com 9 cubos. 
  
Atividades 

_`[{para as atividades de 16 a 19, pea orientao ao professor_`]

16. Reproduza em malha quadriculada e escreva o nome de cada poliedro desenhado a seguir 
  _`[figuras no adaptadas_`]. 

17. Represente em uma malha quadriculada, em qualquer posio:  
<p>
a) quatro cubos justapostos; 
b) trs blocos retangulares, um sobre o outro; 
c) um prisma de base hexagonal; 
d) uma pirmide de base pentagonal.
Compare os seus desenhos com os de um colega. 

18. Em uma malha quadriculada, represente:  
a) uma pilha de cubos construda com 5 cubos; 
b) a letra O _`[no sistema comum de escrita_`] com 12 cubos;
c) a letra F _`[no sistema comum de escrita_`] formada com 8 cubos; 
d) uma pilha de cubos com quantos cubos voc quiser.  

19. Use sua imaginao e crie uma configurao espacial. 
  Represente-a em uma malha quadriculada. 
<F+>
<R->

<77>
<p> 
Malha triangular 

  Observe alguns exemplos: 

<R+>
<F->
_`[{figuras no adaptadas, seguidas por suas legendas_`] 
Legenda 1: Cubo; 
Legenda 2: Bloco retangular; 
Legenda 3: O nmero 4 _`[no sistema comum de escrita_`] com 11 cubos. 

Atividades

_`[{para as atividades de 20 a 22, pea orientao ao professor_`]

20. Analise estas construes de slidos geomtricos no plano feitas em malha triangular. Escreva quantos cubinhos h em cada uma.  

_`[{figuras no adaptadas_`]
<p>
21. Represente em uma malha triangular:  
a) cinco cubos justapostos; 
b) quatro blocos retangulares, um sobre o outro; 
c) uma letra L _`[no sistema comum de escrita_`] construda com 6 cubos; 
d) uma pea qualquer (represente-a e faa sua descrio).  

22. Em uma malha triangular represente um bloco retangular formado com 16 cubos. 
Compare o seu desenho com o de um colega.  
<F+>
<R->

<78>
Vistas de um slido geomtrico 

  Podemos observar um slido geomtrico de vrias posies. O desenho que registra o que vemos  
 conhecido como vista do slido geomtrico. 
  Examine o slido geomtrico a seguir e algumas de suas vistas. 
<p>
<R+>
<F->
_`[{figuras no adaptadas, seguidas por suas legendas_`]
Legenda 1: Vista lateral esquerda; 
Legenda 2: Vista de frente; 
Legenda 3: Vista lateral direita; 
Legenda 4: Vista de trs; 
Legenda 5: Vista de cima; 
Legenda 6: Vista de baixo.

Atividades 

_`[{para as atividades de 23 a 25, pea orientao ao professor_`]

23. Nas figuras _`[no adaptadas_`], voc v o desenho de um slido e duas de suas vistas. Escreva em seu caderno que vis-
  tas so essas e depois desenhe a 
  vista de baixo e a vista lateral. 
<p>
24. Observe a figura espacial _`[no adaptada_`] e considere a figura a seguir _`[no adaptada_`] como sua vista de frente. Desenhe em seu caderno as vistas de cima, de baixo e lateral dessa figura espacial. 
25. Desenhe um slido geomtrico em uma malha quadriculada e depois desenhe tambm trs vistas diferentes do slido desenhado. Recorte tudo e cole no caderno.  
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<79> 
<R+>
4. Perspectiva: outra 
  representao de figuras 
  tridimensionais no plano 
<R->

  Observe duas vistas diferentes de um mesmo dado: 

_`[{figuras no adaptadas_`]
<p>
  No desenho b temos a ideia de profundidade, de volume. Por isso, dizemos que o desenho b foi feito usando perspectiva. J no desenho a no houve o uso dessa tcnica. 

<R+>
Perspectiva  a representao dos objetos como eles so vistos.  uma representao tridimensio-
  nal, como, por exemplo, uma foto, dando a ideia de profundidade. 
<R->

  E, agora, voc j tem ideia do que  um objeto desenhado em perspectiva? 

Atividades 

<R+>
<F->
_`[{para as atividades 26 e 27, pea orientao ao professor_`]

26. Nas pinturas, podemos identificar as que foram e as que no foram feitas com o uso de 
<p>
  perspectiva. Voc consegue 
  identificar qual das figuras a 
  seguir foi pintada com o recurso da perspectiva? 

_`[{duas fotos seguidas por suas legendas_`]
Legenda 1: O caf, *1934, leo sobre tela, de autoria de Cndido Portinari*. 
Legenda 2: Casas com barco e azul, *sem data, tmpera sobre tela, de Alfredo Volpi*.  

27. Veja estes outros exemplos e responda: Em que itens as letras esto desenhadas em perspectiva? 
 
_`[{figuras no adaptadas_`]
<F+>
<R->

<80> 
Leitura 

Perspectiva e arte 

  O uso da perspectiva na pintura se deu em grande escala no 
<p>
 Renascimento, movimento artstico e cientfico do sculo XV. 
  O italiano Leonardo da Vinci (1452-1519) foi um dos mais importantes artistas do Renascimento. 
  *A ltima ceia* (1495-1498), afresco pintado por Leonardo da Vinci no refeitrio do Convento de Santa Maria delle Grazie, em Milo, Itlia,  um exemplo do uso da perspectiva na pintura. 
  No Brasil, as primeiras pinturas em perspectiva foram realizadas em tetos de igrejas em meados do sculo XVIII. 
  Veja, a seguir, detalhe do teto da nave da Igreja de So Domingos, Salvador (BA), pintado em 1781 por Jos Joaquim da Rocha (1737-1807), no qual  feito o uso da perspectiva. 

_`[{figura no adaptada_`]

  Analise mais estes exemplos. Em todos eles foi usada a perspectiva. 
<p>
<R+>
<F->
_`[{quatro imagens seguidas por suas legendas_`]
Legenda 1: Florada de caf, *tela de Antonio Ferrigno (1863-1940)*.
Legenda 2: *Avenida Central e Teatro Municipal do Rio de Janeiro, por Marc Ferrez*. 
Legenda 3: Pontoise, *leo sobre tela de Camille 
  Pissarro*.
Legenda 4: Trem cruzando a floresta de ips, *de Jos Antnio da Silva (1973)*.

Agora  com voc! 
Traga para a aula a reproduo de um quadro no qual o pintor usou perspectiva, com todos os dados da obra e de seu autor. 
<F+>
<R->

<81> 
Desenho em perspectiva 

  Examine a foto a seguir. Ao fundo temos a linha do horizonte, uma linha imaginria em que o cu parece se encontrar com a terra. 
<p>
 Essa linha do horizonte  sempre considerada no nvel (altura) dos olhos do observador. 

<R+>
<F->
_`[{foto seguida de legenda_`]
Legenda: Trecho da rodovia Cndido Portinari (SP).
<F+>
<R->

  Veja que as faixas brancas da rodovia so paralelas, mas parecem se encontrar em um ponto da linha do horizonte. Esse ponto chama-se ponto de fuga. Entretanto, os moures da cerca, que tambm so paralelos, continuam paralelos, e parece que vo diminuindo de tamanho. A distncia entre eles tambm parece que vai ficando menor. 
  Por fim, observe que os veculos mais prximos, isto , os que aparecem em primeiro plano, parecem maiores do que os veculos mais distantes. 
  Desenhar objetos em perspectiva  desenh-los como eles aparecem em uma foto. 
<p>
  Vamos representar em perspectiva um bloco retangular cujo esboo est a seguir _`[no adaptado_`]. 
 
  Primeiro traamos a linha do horizonte (LH) e marcamos nela um ponto de fuga (PF) qualquer. Pelo esboo podemos perceber que o bloco retangular est abaixo da linha do horizonte e  esquerda do ponto de fuga. Em seguida, desenhamos sua face frontal. 
  A partir dos vrtices dessa face frontal, traamos os segmentos, que convergem para o ponto de fuga. 
  Traamos paralelas s arestas da face frontal de forma conveniente e tamanho arbitrrio. Reforamos o traado do bloco retangular. 

  Agora, veja como fazer a representao em perspectiva de um cubo
<p>
 _`[no adaptado_`]. Pelo esboo vo-
 c pode perceber que o cubo est 
 acima da linha do horizonte e  esquerda do ponto de fuga. 

<82>
Atividade

<R+>
28. Represente em perspectiva o bloco retangular e o cubo destes esboos:  
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
Perspectiva a partir de faces 
  frontais 
<R->

  Agora observe as faces frontais de trs blocos retangulares, a linha do horizonte e o ponto de fuga. 
<p>
<F->
LH        PF
-------------o---------

<F->
!::::   !::::::   !:: 
l    _   l      _   l  _
l    _   h::::::j   l  _
h::::j              l  _
                    h::j Faces 
                         Frontais
<F+>

  Veja como podemos represent-los em perspectiva. 

<R+>
<F->
_`[{figuras no adaptadas_`]

Atividades 
 
_`[{para as atividades 29 e 30, pea orientao ao professor_`]
 
29. Utilize o mesmo procedimento e represente em perspectiva os trs blocos retangulares, em que so dados as faces frontais, 
  a linha do horizonte e o ponto de fuga. 
<p>
!::::  !::::::  !:: 
l    _  l      _  l  _
l    _  h::::::j  l  _
h::::j            l  _       
                  h::j

-------------o-------
LH        PF

30. Verifique se cada uma destas representaes em perspectiva _`[no adaptadas_`] est acima ou abaixo da linha do horizonte.
<F+>
<R->

<83> 
<R+>
Representao em perspectiva na 
  linha do horizonte 
<R->

  At agora vimos a representao em perspectiva de objetos que esto acima ou abaixo da linha do horizonte. Se um cubo estivesse na linha do horizonte, como poderamos represent-lo? Veja trs possibilidades _`[no adaptadas_`]. 
<p>
Atividades 

<R+>
<F->
_`[{para as atividades de 31 a 33, pea orientao ao professor_`]

31. Desenhe em seu caderno trs blocos retangulares na linha do horizonte.  
32. Represente em perspectiva a pilha de cubos cujo esboo est a seguir _`[no adaptado_`]. Coloque-a abaixo da linha do horizonte com o ponto de fuga  esquerda. 
33. Copie a figura em seu caderno e determine o ponto de fuga e a linha do horizonte desta representao em perspectiva. 

Perspectiva com dois pontos de fuga 
<F+>
<R->

  Podemos tambm representar em perspectiva uma figura espacial no plano com dois pontos de fuga. Em 
<p>
 lugar de uma face frontal, temos uma aresta frontal, com a qual as demais linhas verticais so paralelas. 
  Veja um exemplo com um bloco retangular abaixo da linha do horizonte _`[figura no adaptada_`]. 
 
Atividades

<R+>
<F->
_`[{para as atividades 34 e 35, pea orientao ao professor_`]

34. Em seu caderno, desenhe em perspectiva um bloco retangular com dois pontos de fuga, cuja aresta frontal e os pontos de fuga j so dados, como indicado a seguir _`[figura no adaptada_`]. 
35. O que voc achou mais difcil neste captulo? E mais fcil? Responda em seu caderno.  
<p>
Raciocnio lgico
<F+>
<R->
 
  Usando 6 palitos inteiros e iguais, construa 4 tringulos equilteros de mesmo tamanho.

               ::::::::::::::::::::::::

<84>
Reviso cumulativa 
 
<R+>
1. Mariana lanou trs dados e observou que as faces viradas para cima indicavam trs nmeros cuja soma era 15. 
<R->
  Classifique cada afirmao a seguir em verdadeira ou falsa. 
<R+>
<F->
a) Os trs nmeros podem ser todos pares. 
b) Os trs nmeros podem ser iguais. 
c) Os trs nmeros podem ser diferentes. 
d) Pode haver dois nmeros iguais e um diferente.  
<p>
e) Em um dos dados pode ter sado o nmero 1. 
f) Pelo menos um dos nmeros  par. 
g) Pelo menos um dos nmeros  mpar. 
h) Pelo menos dois nmeros so maiores do que 4.
i) O produto dos trs nmeros pode ser 150. 
Em seguida, faa o levantamento de todas as possibilidades e confira se a opo feita em cada item anterior est correta. 

2. Estimativa 
<F+>
<R->
   A seguir h uma pea _`[no adaptada_`] formada por 3 cubos. Observe-a e responda: Voc acha que, se forem dobradas as medidas de todas as suas arestas, o seu volume dobrar? 
   Agora, desenhe essa pea em uma malha triangular ampliando-a de 
 modo que todas as arestas tenham 
 suas medidas dobradas. Calcule os 
<p>
 volumes da pea inicial e da pea 
 ampliada, usando o cubo como uni-
 dade, e verifique se sua estimativa foi correta.  

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
3. Copie o item em que os nmeros esto em ordem crescente. 
a) #=c; 3,45; 5; 12  
b) 4-1; 0,666...; 1#,b; 3 
c) 32; 23; #,;e; 1,444... 
d) -#;g; 60; #;c; 0,8 
 
4. Depois de tudo o que voc aprendeu, ficou muito mais fcil desenhar figuras geomtricas tridimensionais em um plano. 
<F+>
<R->
  Faa o desenho de uma cadeira nessa ou em outra posio _`[figura 
 no adaptada_`] ou ento o desenho de outro objeto que voc quiser: 
<p>
<R+>
<F->
a) em malha quadriculada;  
b) em malha pontilhada; 
c) em malha triangular; 
d) em perspectiva. 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
5. Um polgono convexo de 17 lados tem quantas diagonais?  
6. O nmero de faces de um poliedro regular no pode ser 6, 20, 8 ou 10?  

7. O valor de 4842  o mesmo que o resultado de:
a) 42.  
b) 44. 
c) 45.  
d) 46. 
<p>
8. Esboce o desenho do prisma _`[no adaptado_`] e copie sua vista superior. 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<85>
Para ler, pensar e divertir-se 

Ler

O renascimento 

  Foi no sculo XV que se deu na Europa o incio da chamada cincia renascentista. Nessa poca, grandes acontecimentos ocorreram na Itlia, especialmente do ponto de vista artstico e cientfico, como a introduo da pintura em perspectiva e as mudanas na arquitetura. Filippo 
<p>
 Brunelleschi e, mais tarde,  
 Leonardo da Vinci foram os principais representantes desse perodo. 
  A pintura do Renascimento utilizava trs recursos: perspectiva, uso do claro-escuro e realismo. 
  A tendncia de uma interpretao cientfica do mundo predominava no Renascimento; o resultado na pintura so os estudos da perspectiva segundo os princpios geomtricos. O uso da perspectiva conduziu a outro recurso, o claro-escuro (*sfumato*), que consiste em pintar algumas reas iluminadas e outras na sombra. As figuras, dispostas em uma composio estritamente simtrica, a variao de cores frias e quentes e o manejo da luz permitem criar distncias e volumes que parecem ser copiados da realidade. 
  Nesse perodo, os temas representados continuavam sendo de carter estritamente religioso, mes-
<p>
 mo com a incluso de um novo elemento: a burguesia, que queria ser 
 protagonista da histria do cristianismo. 
  Outra caracterstica da pintura renascentista foi o surgimento de artistas com um estilo pessoal. Como o perodo caracterizava-se pelo ideal da liberdade e, consequentemente, pelo individualismo, o artista comeou a ser visto como um criador individual e autnomo, que expressava nas obras seus sentimentos e suas ideias, sem submisso a nenhum poder que no fosse a prpria capacidade de criao. 

Pensar 

<R+>
<F->
1. Um time de basquete marcou 55 pontos. Ele fez somente cestas de 2 pontos e cestas de 1 ponto (lance livre). O nmero de cestas de 2 pontos foi 
<p>
  o dobro do nmero de cestas de 1 ponto. Quantos lances livres esse time converteu?  
2. Considere as hipteses h1 e h2 e verifique se a concluso C  verdadeira ou falsa. 
h1: Todos os quadrilteros so polgonos. 
h2: P no  um quadriltero.
C: P no  um polgono. 
<F+>
<R->
 
Divertir-se 

  Um professor disse que colocaria uma venda nos olhos de trs alunos. Depois faria uma cruz vermelha ou azul na testa de cada um. Em seguida, tiraria a venda. 
  Cada aluno deveria levantar a mo se visse uma cruz vermelha. 
  Combinado isso, o professor colocou a venda nos trs alunos, fez uma cruz na testa de cada um e retirou a venda. 
  Todos levantaram a mo. 
  Pouco depois um aluno disse: 
<p>
  -- Tenho certeza de que a cruz da minha testa  vermelha. 
  A concluso dele foi correta? 
  
               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Segunda Parte
